算法时间复杂度及效率（二）

        今天我们来看下算法复杂度和效率的问题，在判断一个算法的效率时，操作数量中的常数项和其他次要项常常是可以忽略的，只需要关注最高阶项就能得出结论。那么我们如何用符号定性的判断算法的效率呢？算法的复杂度分为两部分：1、时间复杂度，即算法运行后对时间需求量的定性描述；2、空间复杂度，即算法运行后对空间需求量的定性描述。

        数据结构重点关注的是算法的效率问题，因此，我们后面会集中于讨论算法的时间复杂度；但其使用的方法完全可以用于空间复杂度的判断！我们经常在进行算法的时间复杂度用大O表示法来进行分析。下来对此种方法进行说明，算法效率严重依赖于操作（Operation）数量；操作数量的估算可以作为时间复杂度的估算；在判断时首先关注操作数量的最高次项。如下：

        下来我们来分析下常见的时间复杂度：

        1、线性阶时间复杂度：O(n)。如下：

        2、对数阶时间复杂度：O(logn)。如下

        3、平方阶时间复杂度：O(n²)。如下：

        下来我们来看看常见的时间复杂度，如下图所示

        常见的时间复杂度的比较，如下

        下面我们通过实例来进行分析下，下面的函数程序复杂度是怎样的

int find(int a[], int n, int v)
{
    int ret = -1;
    
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        if( a[i] == v )
        {
            ret = i;
            break;
        }
    }
    
    return ret;
}

        我们如果定义的数组 a[5] = {1, 2, 3, 4, 5}； 如果是 int min = find(a, 5, 1)； 这种则是最好情况了，仅需执行 1 次循环，此时便是 O(1)；如果是 int max = find(a, 5, 5)；此时便是最坏的情况了，需要全部执行，此时便是 O(n)。那么此时算法的最好与最坏情况便体现出来了，当算法在最乖情况下仍然能满足需求时，可以推断，算法的最好情况和平均情况都满足需求。在以后没有进行特殊说明时，所分析算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度。

        算法的空间复杂度（Space Complexity），其定义为 S(n) = S(f(n))。其中 n 为算法的问题规模，f(n) 为空间使用函数，与 n 相关。推倒时间复杂度的方法同样适用于空间复杂度，例如，当算法所需要的空间是常数时，其空间复杂度为 S(1)。我么来看看下面这个程序的空间复杂度为多少

long sum1(int n)
{
    long ret = 0;
    int* array = new int[n];
    
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        array[i] = i + 1;
    }
    
    for(iunt i=0; i<n; i++)
    {
        ret += array[i];
    }
    
    delete[] array;
    
    return ret;
}

        我们看到第一行为 1，第三行的 ret 定义也为 1，指针数组 array 的定义其空间复杂度为 n，下面两个进行 for 循环的空间复杂度分别为 1。因此整个程序所需的单位内存为： n + 4；即空间复杂度：S(n+4) = S(n)。那么时间跟空间之间是否存在某种联系呢？在多数情况下，算法的时间复杂度更令人关注，因为现在的内存都很大。如果有必要的话，可以通过增加额外空间降低时间复杂度；同理，也可以增加算法的耗时降低空间复杂度。下来我们来看个空间换时间的示例代码，代码的背景是在 1-1000 中的某些数字搜组成的数组中，设计一个算法类找出出现次数最多的数字。

#include <iostream>

using namespace std;

void sreach(int a[], int len)
{
    int pi[1000] = {0};
    int max = 0;
    
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        pi[a[i] -1]++;
    }
    
    for(int i=0; i<1000; i++)
    {
        if( max < pi[i] )
        {
            max = pi[i];
        }
    }
    
    for(int i=0; i<1000; i++)
    {
        if( max == pi[i] )
        {
            cout << i + 1 << endl;
        }
    }
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    int a[] = {1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 3, 3};
    
    sreach(a, sizeof(a)/sizeof(*a));
    
    return 0;
}

        我们来看看打印结果

        我们看到打印了 3 和 6，因为最大数 6 和 3 都出现了 3 次。那么此次我们的程序实现中函数的时间复杂度为 O(n)。那么问题来了，当两个算法的大 O 表示法相同时，是否意味着两个算法的效率完全相同呢？肯定是不相同的！通过今天对算法的时间复杂度和效率的学习，总结如下：1、时间复杂度是算法运行时对于时间的需求量；2、大 O 表示法用于描述算法的时间复杂度，它只关注操作数量的最高次项；3、常见的时间复杂度为：线性阶，平方阶和对数阶；4、一般而言，在工程中使用的算法其复杂度都不超过 O(n³)；5、算法分析与设计时，重点考虑最坏情况下的时间复杂度，大 O 表示法用于适用于算法的空间复杂度；6、空间换时间是工程开发中常用的策略。