递归算法

递归是一种应用非常广泛的算法（或者编程技巧）。也是很多数据结构和算法编码实现的基础。比如DFS深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等，所以搞懂递归是学习后面复杂的数据结构和算法的前提条件。

1. 理解递归

递归在我们的生活中也是很常见的：

在电影院里，在漆黑的时候，我们没法直接知道自己是第几排，于是我们就可以问前一排的人他是第几排，我们只要在前一个人的基础加一，但前面一排的人也看不清楚，所以他也要问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，因为第一排的人本身就知道自己是第一排，然后再这样一排一排的把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是就知道你自己是第几排了。

上面的例子是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。

递归问题几乎都可以用递推公式来表示。上面电影院的例子的是：

                    f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1

f(n)表示你想知道自己在哪一排，f(n-1)表示前面一排所在的排数，f(1)=1表示第一排的人知道自己在第一排。

根据上面的递推公式，我们就可以写出递推代码：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

2. 递归需满足的三个条件

只有同时满足下面三个条件的问题，才能用递归来解决。

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解

何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如前面电影院的例子，你要知道"自己在哪一排"的问题，可以分解为"前一排的人在哪一排"这样的子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样

比如电影院的例子，你求解"自己在哪一排"的思路，和前面一排人求解"自己在哪一排"的思路，是一模一样的。

3. 存在递归终止条件

把问题分解为子问题，再把子问题分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。

比如电影院的例子，第一排的人不需要在继续询问任何人，就知道自己在哪一排，也就是f(1)=1，这就是递归的终止条件。

3. 如何编写递归代码

写递归代码最关键的是"写出递推公式，找到终止条件"，然后就是将递推公式转化为代码。

为了理解上面的结论，我们举例说明：

假如有n个台阶，每次你可以跨1个台阶或2个台阶，请问走这n个台阶有多少种走法？

如果共有7个台阶，可以是 2 2 2 1，也可以是 1 2 1 1 2 等等。走法有多种，但如何用编程求解总共有多少种走法呢？

可以根据第一步的走法把所有走法分为两类：

第一类：第一步走了1个台阶

第二类：第一步走了2个台阶

所以n个台阶的走法就等于先走1个台阶后，n-1个台阶的走法加上先走2个台阶后，n-2个台阶的走法，所以递推公式就是：

                    f(n)=f(n-1)+f(n-2)

有了递推公式，然后就需要找到终止条件。

当只剩一个台阶时，不需要递推，因为走法就只有一种，即f(1)=1。

当还剩两个台阶时，这时候可以一步走完（直接跨两个台阶），或者一步一步的走（每次跨一个台阶），即f(2)=2。

当还剩三个台阶时，可以分解为上面两个子问题，即f(3)=f(2)+f(1)。

。。。以此类推。。。

所以终止条件就是f(1)=1,f(2)=2。

结合上面的分析，就可以得出终止条件和递推公式：

                    f(1)=1
                    f(2)=2
                    f(n)=f(n-1)+f(n-2)

根据上面的公式，就可以写出如下递归代码：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

总结：写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

前面电影院的例子，递归调用只有一个分支，即：一个问题只需要分解为一个子问题。这种情况，我们很容易理解，也能够想清楚"递"和"归"的每一个步骤，所以想起来、理解起来都不难。

但当一个问题要分解为多个子问题的时候，递归代码就没那么好理解。例如上面走台阶的例子，我们几乎不能将整个"递"和"归"的过程一步一步都想清楚。

其实，对于递归代码，我们试图想弄清楚整个"递"和"归"过程的做法，实际上是一个进入了思维误区。很多时候，我们理解起来很费力，主要原因是我们自己给自己制造了这种理解障碍。

我们正确的理解方式应该是：

如果一个问题A可以分解为若干子问题B、C、D，你可以先假设子问题B、C、D已经解决，在此基础上思考如何解决问题A。你只需要思考A与子问题B、C、D两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样就容易理解很多。

因此，编写递归代码的关键是，只要遇到递归，就把它想象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去解递归的每个步骤。

4. 警惕堆栈溢出

在写递归代码时，容易堆栈溢出，堆栈溢出会导致系统崩溃，后果很严重。

递归代码容易造成堆栈溢出的原因

函数调用会使用栈来保存临时变量，每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大，如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。

比如前面电影院的例子，如果我们将系统栈或者JVM堆栈大小设置为1KB，在求解f(19999)时便会出现如下堆栈报错：

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

递归代码中如何预防堆栈溢出

可以通过在代码中限制递归调用的最大深度来解决堆栈溢出的问题。一般递归深度超过1000后，就不继续往下递归，直接返回报错。

例如电影院的例子，我们可以通过如下改造，就可以避免堆栈溢出。

// 全局变量，表示递归的深度。
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth；
  if (depth > 1000) throw exception;

  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

上面写的是伪代码，为了代码简洁，有些边界条件没有考虑，比如x<=0。

但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码就会过于复杂，会影响代码的可读性。所以，如果最大深度比较小，比如50、100，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。

5. 警惕重复计算

在使用递归时，还会出现重复计算的问题。上面讲的台阶的例子，如果我们将整个递归过程分解一下的话，就如下图所示：

从图中可以看出，当我们计算f(5)时，需要先计算f(4)和f(3)，而计算f(4)时，还需要计算f(3)，因此，f(3)就会计算多次，这就是重复计算问题。

为了避免重复计算，可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的f(k)，当递归调用f(k)时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算。

按照上面的思想，可以改进下上面台阶的代码：

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;

  // hasSolvedList 可以理解成一个 Map，key 是 n，value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSovledList.get(n);
  }

  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSovledList.put(n, ret);
  return ret;
}

在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个较大的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外的考虑这部分开销，例如上面电影院的例子，空间复杂度并不是O(1)，而是O(n)。

6. 将递归代码改为非递归代码

递归代码有利有弊：

利：

代码简洁、表达能力强

弊：

空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多。

所以在实际开发过程中，我们需要根据实际情况来选择是否用递归的方式去实现。

我们也可以将递归代码改为非递归代码，例如电影院的例子就可修改为如下：

int f(int n) {
  int ret = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    ret = ret + 1;
  }
  return ret;
}

台阶的例子可修改为如下：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;

  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

理论上讲，所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法。

7. 内容小结

• 递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足”三个条件“的问题就可以通过递归代码来解决

• 递归代码比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去，正确的姿势是写出递推公式，找出终止条件，然后翻译成递归代码。

• 递归代码虽然简洁高效，但是也有很多弊端，例如：堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等。